Théorème/définition :
Soit \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) une série entière
On peut trouver un nombre \(R\geqslant0\) (éventuellement \(R=+\infty\)) tel que
\({{\lvert x\rvert\lt R}}\implies S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}a_nx^n\) converge aux valeurs absolues
Ce nombre \(R\) peut être déterminé par : $$R={{\sup\{r\geqslant0\mid (\lvert a_n\rvert r^n)_{n\in\Bbb N}\text{ est borné}\} }}$$
Ce nombre \(R\) est appelé rayon de convergence de \(S(x)\)
Proposition :
Si \(R\) désigne le rayon de convergence de la série entière \(S(x)\), alors la série \(S(x)\) converge normalement dans tout domaine \([-q,q]\subset{\Bbb R}\) pour \(0\leqslant q\lt R\)